Question

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式：
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列是公比為，作數(shù)列，使，
求和：；
（3）若，設(shè)，，
求使恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍.

Answer 1

解：（1）見(jiàn)解析；
（2）=

==
（3）．

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用
（1）由，得
，則，于是
又兩式相減得
于是
因此得證。
（2）按題意，
故
由，可知數(shù)列與是首項(xiàng)分別為和，公差均為的等差數(shù)列，然后求解和式
（3）根據(jù)通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)求和得到結(jié)論。
解：（1）由，得
，則，于是
又兩式相減得
于是
因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列
（2）按題意，
故
由，可知數(shù)列與是首項(xiàng)分別為和，公差均為的等差數(shù)列，且，于是
=
==
（3）．
故．
．
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為。化簡(jiǎn)得對(duì)任意恒成立．
設(shè)，則……．
當(dāng)為單調(diào)遞減數(shù)列，為單調(diào)遞增數(shù)列．
當(dāng),,為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng),,為單調(diào)遞增數(shù)列．
，所以，n=5時(shí)，取得最大值為．
所以，要使對(duì)任意恒成立，．