已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O為原點．
（1）若
OC
∥
AB
，求tanα的值；
（2）若
AC
⊥
BC
，求sin2α的值．
（3）若|
OA
+
OC
|=
13
且α∈(0，π)，求
OB
與
OC
的夾角．
分析：（1）根據(jù)條件求出向量
OC
和
AB
的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示以及商的關(guān)系，，求出tanα的值；
（2）根據(jù)條件求出向量
AC
和
BC
的坐標(biāo)，利用
a
•
b
=x1x2+y1y2=0列出方程，再由倍角的正弦公式和平方關(guān)系求出sin2α的值；
（3）求出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，再由|
OA
+
OC
|=
13
求出α的值，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量夾角的余弦值，根據(jù)夾角的范圍求出角的度數(shù)．
解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴
OC
=（cosα，sinα），
AB
=（-3，3），
∵
OC
∥
AB
，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=-1
（2）由題意得，
AC
=（coaα-3，sinα），
BC
=（coaα，sinα-3），
∵
AC
⊥
BC
，∴coaα（coaα-3）+sinα（sinα-3）=0，
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=
1
3
，
兩邊平方后得，sin2α=-
8
9
，
（3）由題意得，
OA
=（3，0），
OC
=（cosα，sinα），
∴
OA
+
OC
=（coaα+3，sinα），由|
OA
+
OC
|=
13
得，
（cosα+3）2+sin2α=13，即cosα=
1
2
，則α=
π
3
，
∴cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
||
OC
|
=
3sinα
3
=
3
2
，
則所求的向量的夾角是
π
6
．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量共線的性質(zhì)，主要利用兩個向量坐標(biāo)形式進(jìn)行運(yùn)算求解，注意向量夾角的范圍．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（-3，0），B（0，
3
）O為坐標(biāo)原點，點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=60°，設(shè)
OC
=λ
OA
+
OB
（λ∈R），則λ等于（　�。�
A、
3
3
B、
3
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若
AC
•
BC
=-1，求sin(α+
π
4
)的值；(2)O為坐標(biāo)原點，若|
OA
-
OC
|=
13
，且α∈(0，π)，求
OB
與
OC
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求
OM
•
ON
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點．
（1）若
AC
⊥
BC
，求sin2α的值；
（2）若丨
OC
+
OA
丨=
13
，α∈（0，π），求
OB
與
OC
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
13
，且α∈（0，π），求
OB
與
OC
夾角的大小；
（2）若(
OA
+2
OB
)⊥
OC
，求cos2α．

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