Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，A為雙曲線的右頂點(diǎn)，線段AF₂的垂直平分線交雙曲線與P，且|PF₁|=3|PF₂|，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A、

  3

• B、

  2

• C、

  -1+ 17

  2

• D、

  1+ 17

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件，分別求出|PF₁|，|PF₂|，|BF₁|，|BF₂|的長(zhǎng)，再由勾股定理進(jìn)行求解．

解答： 解：∵F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)，
A為雙曲線的右頂點(diǎn)，且|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=2|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
∵線段AF₂的垂直平分線交雙曲線于P，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)x_P=

1

2

(a+c)，
設(shè)線段AF₂的垂直平分線交x軸于B，則|F₁B|=

1

2

a+

3

2

c，|BF₂|=

c-a

2

，
∴（3a）²-（

1

2

a+

3

2

c）²=a²-（

c-a

2

）²，
整理，得當(dāng)8a²-2c²-2ac=0，
∴e²+e-4=0，
解得e=

-1+ 17

2

，或e=

-1- 17

2

（舍）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意勾股定理的合理運(yùn)用．