Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并用定義法證明；
（3）若對任意x∈R⁺不等式恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，列出等式，即可求實數(shù)a的值；
（2）化簡函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，再利用定義進行證明；
（3）先化為具體不等式，再分離參數(shù)求最值，即可求實數(shù)m的范圍．
解答：解：（1）由題意，f（-x）=-f（x），
∴=-
∴=-
∴a=-1；
（2）在R上為減函數(shù)，證明如下：
設x₁＜x₂，則=
∵x₁＜x₂，∴＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）不等式恒成立，等價于
∵f（x）在R上為減函數(shù)
∴
∴
∵x＞0，∴
∴
∴0≤m≤．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．