Question

【題目】有1998名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼為1～1998這1998個(gè)自然數(shù)，從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，但要使剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼數(shù)等于另外兩人的號(hào)碼數(shù)的乘積.那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡(jiǎn)述理由.

Answer 1

【答案】43

【解析】

可選出號(hào)碼為這43名運(yùn)動(dòng)員去當(dāng)儀仗隊(duì)員作為選取方案，即可滿足題目條件要求，理由如下：

因?yàn)檫x出這43名運(yùn)動(dòng)員作儀仗隊(duì)員后，剩下運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼（除1號(hào)外）的任何兩個(gè)號(hào)碼數(shù)的積將大于.而1與任何一個(gè)號(hào)碼數(shù)相乘不會(huì)等于第三個(gè)不同的數(shù).所以，剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼數(shù)等于另外兩人的號(hào)碼數(shù)的乘積.

現(xiàn)在證明：43是選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員的最少人數(shù).也就是證明：當(dāng)選取42個(gè)運(yùn)動(dòng)員為儀仗隊(duì)員后，余下的隊(duì)員中至少有這樣的三個(gè)號(hào)碼數(shù)，其中兩個(gè)號(hào)碼數(shù)的乘積等于第三個(gè)號(hào)碼數(shù).為此，我們考察三數(shù)組.

即.

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是遞增的，所以，寫出的數(shù)目是不相同的，并且都不超過.這樣的三數(shù)組個(gè)數(shù)為43個(gè).如果選出的運(yùn)動(dòng)員少于43個(gè)，至多為42個(gè)，上述43個(gè)三數(shù)組中，至少要有一組三個(gè)數(shù)都沒被選，則這三個(gè)數(shù)作為被剩下的運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼，其中一個(gè)數(shù)等于另外兩數(shù)的乘積，就不滿足題設(shè)條件要求了，所以，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少要有43個(gè).