【題目】給定數(shù)列,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是封閉數(shù)列”.

1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,試判斷是否為封閉數(shù)列,并說(shuō)明理由;

2)已知數(shù)列滿足,設(shè)是該數(shù)列的前項(xiàng)和,試問:是否存在這樣的封閉數(shù)列,使得對(duì)任意都有,且,若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值;若不存在,說(shuō)明理由;

3)證明等差數(shù)列成為封閉數(shù)列的充要條件是:存在整數(shù),使

【答案】1)不是;見解析(2;(3)證明見解析

【解析】

1)數(shù)列不為封閉數(shù)列.由,2時(shí),,可得,可得,即可得出結(jié)論.

2)數(shù)列滿足,可得數(shù)列為等差數(shù)列,公差為2.又是“封閉數(shù)列”,得:對(duì)任意,,必存在使,得,故是偶數(shù),又由已知,,故,可得

3)要證明充分必要條件的問題,本題需要從兩個(gè)方面來(lái)證明,一是證明充分性,二是證明必要性,證明時(shí)注意所取得數(shù)列的項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證時(shí),項(xiàng)要具有一般性.

解:(1)數(shù)列不為封閉數(shù)列.

2時(shí),,,

可得,∴,因此不是封閉數(shù)列.

2)數(shù)列滿足,

∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列,則

是“封閉數(shù)列”,

∴對(duì)任意,,必存在使,

,故是偶數(shù),

又由已知,,故,可得:,

可得

經(jīng)過驗(yàn)證可得:

3)證明:(必要性)若存在整數(shù),使,則任取等差數(shù)列的兩項(xiàng),

于是,

由于,為正整數(shù),,

是封閉數(shù)列.

(充分性)任取等差數(shù)列的兩項(xiàng),,若存在使

,

故存在,使,

下面證明

當(dāng)時(shí),顯然成立.

對(duì),若,則取,對(duì)不同的兩項(xiàng),存在使,

,這與,矛盾,

故存在整數(shù),使

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