Question

16．若n是正整數(shù)，則${7^n}+{7^{n-1}}C_n^1+{7^{n-2}}C_n^2+…+7C_n^{n-1}$除以9的余數(shù)是0或7．

Answer 1

分析 把原式還原成二項(xiàng)式定理．利用二項(xiàng)式定理展開，對n的奇偶性討論，可得答案．

解答 解：${7^n}+{7^{n-1}}C_n^1+{7^{n-2}}C_n^2+…+7C_n^{n-1}$=（7+1）ⁿ-1=8ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}+{C}_{n}^{n}{9}^{0}（-1）^{n}-1$
①n是正偶數(shù)，則原式=（9-1）ⁿ-1=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1$
每項(xiàng)都是9的倍數(shù)．
∴這整個式子都可以被9整除，此時余數(shù)為0．
②若n是正奇數(shù)，則原式=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}+{C}_{n}^{n}{9}^{0}（-1）^{n}-1$．
=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}-2$．
∵-2不能整除9
∴余數(shù)就應(yīng)該是7．
綜上，余數(shù)應(yīng)該是0或7．
故答案為：0或7．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的靈活運(yùn)用和整除問題．屬于中檔題．