Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x=時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）對x分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值與最值即可得出；
（2）構(gòu)造函數(shù)令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值即可得出；
（3）利用斜率計算公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出關(guān)于t=的關(guān)系式，再利用（2）的結(jié)論即可判斷出是否存在．
解答：解：（1），
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．
∴f′（x）在（0，1]上單減，在[1，e）上單增；
．
∴f（x）在[e，+∞）單調(diào)遞增．
故f（x）_min=f（1）=3．
（2）
令，
，
因為x≥1，顯然g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上遞增，
顯然有g(shù)（x）≥g（1）=2恒成立．（當且僅當x=1時等號成立），即證．      
（3）當x≥e時，f（x）=x²+2（lnx-1），，假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值伴侶切線”．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則，．
故直線AB的斜率：=．
曲線在點M（x，y）處的切線斜率：
k=f′（x）==．
依題意得：=
化簡可得：，即=．
設(shè)，上式化為，由（2）知t＞1時，恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得成立．
綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)f（x）不存在“中值伴侶切線”．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、分類討論思想方法、斜率的計算公式、問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．