已知定義在R上奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),f(1)≠1;且當(dāng)x∈[1,2]時(shí),函數(shù)g(x)=
f(x)x
的值域?yàn)閇-2,1].
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在x∈[1,+∞)上的單調(diào)性(不需寫出推理過(guò)程),并寫出f(x)在其定義域上的單調(diào)區(qū)間;
(3)討論關(guān)于x的方程f(x)-t=0(t∈R)的根的個(gè)數(shù).
分析:(1)由定義在R上奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),可得 b=d=0,函數(shù) g(x)=ax2+c,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在[1,2]上是增函數(shù),再根據(jù)它的值域?yàn)閇-2,1],
可得 a+c=-2,4a+c=1,解得 a=1,c=-3,從而得到f(x)的解析式.當(dāng)a<0時(shí),g(x)=ax2+c 在[1,2]上是減函數(shù),可得a+c=1,不滿足f(1)≠1,故舍去.
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)=x3 -3,可得在[1,+∞)是增函數(shù).令它的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2>0,可得x的范圍,即可得到增區(qū)間,此函數(shù)無(wú)減區(qū)間.
(3)關(guān)于x的方程f(x)-t=0的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=t 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).結(jié)合圖象,可得結(jié)論.
解答:解:(1)由定義在R上奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),可得 b=d=0,故f(x)=ax3 +cx.
再由f(1)≠1可得a+c≠1.
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),函數(shù)g(x)=
f(x)
x
=ax2+c,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在[1,2]上是增函數(shù),再根據(jù)它的值域?yàn)閇-2,1],
可得 a+c=-2,4a+c=1,解得 a=1,c=-3,故f(x)=x3 -3.
當(dāng)a<0時(shí),g(x)=ax2+c 在[1,2]上是減函數(shù),可得a+c=1,不滿足a+c≠1,故舍去.
綜上可得,f(x)=x3 -3.
(2)根據(jù)函數(shù)f(x)=x3 -3,可得在[1,+∞)是增函數(shù).
令它的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2>0,可得x>0,或 x<0,故函數(shù)的增區(qū)間為(-∞,0)、(0,+∞),即此函數(shù)的增區(qū)間為(-∞,+∞),此函數(shù)無(wú)減區(qū)間.
(3)關(guān)于x的方程f(x)-t=0的根的個(gè)數(shù),即函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=t 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
結(jié)合圖象可得,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=t 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.
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點(diǎn)評(píng):本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,求函數(shù)的解析式和單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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(1)補(bǔ)充完整f(x)在x≤0的函數(shù)圖象;
(2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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(2012•日照一模)已知定義在R上奇函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意x,都有f(x+3)=f(x)成立;②當(dāng)x∈[0,
3
2
]
時(shí)f(x)=
3
2
-|
3
2
-2x|
,則f(x)=
1
|x|
在[-4,4]上根的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在R上奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
(1)若f(1)≠1,且當(dāng)x∈[1,2]時(shí),函數(shù)g(x)=
f(x)x
的值域?yàn)閇-2,1]
①求函數(shù)f(x)的解析式;
②關(guān)于x的方程f(x)=3x+m有且只有三個(gè)實(shí)根,求m的取值范圍;
(2)若c=-3,f(x)+1≥0對(duì)于?x∈[-1,1]成立,求f(x)的表達(dá)式.

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