Question

【題目】已知橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別是，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 恰為橢圓的上頂點(diǎn)，此時(shí)的面積為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線與直線分別相交于點(diǎn)，問當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）弦長為定值6．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)時(shí)，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；（2）利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)時(shí)，直線的方程為： ，求得以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6 ，猜測當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6，再進(jìn)行證明即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，所以：

解得： ，所以橢圓方程是：；

（2）當(dāng)時(shí)，直線： ，此時(shí)，，，又點(diǎn)坐標(biāo)是，據(jù)此

可得，，故以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6．由此猜測當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6．　

證明如下：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則直線的方程是：

，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)是，

由方程組　得到：，

所以：，　　從而：

=0，

所以：以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6．