Question

【題目】已知自變量為的函數(shù)的極大值點(diǎn)為，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，證明：有且僅有2個零點(diǎn)；

（2）若，，，…，為任意正實(shí)數(shù)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，令，再次求導(dǎo)，可判斷在單調(diào)遞減，又，故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；求得，再判斷，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷，有且僅有2個零點(diǎn)；

（2）對求導(dǎo)可得，又，故可判斷，；，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；故且，所求問題轉(zhuǎn)化為，

記為，觀察知為等差乘以等比數(shù)列的形式，結(jié)合錯位相減法化簡即可求證；

解：（1）由題知：，

∴，令，，

∴在單調(diào)遞減，又∵，

∴，，，，

故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以；

又因為，，

所以在，上各恰有零點(diǎn)，即有且僅有2個零點(diǎn).

（2）由題知，

因此，，；，，

故在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

因此且，

∵，所以，

記為，所以，

，

所以，

所以，

所以，

因此，即.