求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

思路點撥:由所要證明的不等式,想到向量模的平方和向量的數(shù)量積,所以可通過構(gòu)造向量的方法來證明.

證明:設(shè)=(a,b),=(c,d).

當(dāng)、至少有一個為零向量時,所證不等式為0≤0,成立.當(dāng)、都不為零向量時,設(shè)其夾角為α,則有cosα=.

∵|cosα|≤1,

∴|≤1,

即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

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求證:ac+bd≤.

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如圖2-3-32,在四面體ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求證:AC⊥BD.

圖2-3-32

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求證:AC+BD≤

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如圖5,A,B,C,D在同一平面內(nèi),AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD與α分別交于點C,D,求證:AC=BD.

圖5

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