Question

5．（1）計算${（{lg2}）^2}+lg5•lg20+{（{\sqrt{2016}}）^0}+{0.027^{\frac{2}{3}}}×{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$；
（2）已知$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，求$\frac{7}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由對數(shù)的運算性質(zhì)計算得答案；
（2）由已知$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，可得tanα，再利用三角函數(shù)的誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡求值即可得答案．

解答 解：（1）${（{lg2}）^2}+lg5•lg20+{（{\sqrt{2016}}）^0}+{0.027^{\frac{2}{3}}}×{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$=${（{lg2}）^2}+lg5•（{2lg2+lg5}）+1+{（{\frac{1000}{27}}）^{\frac{2}{3}}}×{3^2}={（{lg2+lg5}）^2}+1+100=102$；
（2）∵$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，
∴$tanα=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{7}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}$=$\frac{{7（{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}）}}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}=\frac{{7{{tan}^2}α+7}}{{{{tan}^2}α+tanα+1}}=\frac{{7•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+7}}{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}+1}}=5$．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，是中檔題．