Question

直線

3

x+y-2

3

=0截圓x²+y²=4得到的劣弧的弧長(zhǎng)為（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2π

  3

• D、π

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，令直線方程中的x=0，求出y的值，即為|OB|的長(zhǎng)；令y=0，求出x的值，即為|OA|的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，由|OA|和|OB|的長(zhǎng)，利用勾股定理求出|AB|的長(zhǎng)，由直角三角形中，一直角邊等于斜邊的一半得到這條直角邊所對(duì)的角為30度，進(jìn)而得到∠ABO=30°，∠BAO=60°，又OA=OC，所以三角形AOC為等邊三角形，故∠AOC=60°，由劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC=60°，圓的半徑為2，利用弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧AC的弧長(zhǎng)．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

在Rt△AOB中，由|OA|=2，|OB|=2

3

，
根據(jù)勾股定理得：|AB|=

22+(2 3 )2

=4，
∵OA=

1

2

AB，∴∠OBA=30°，
∴∠BAO=60°，又OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=60°，又圓O的半徑OA=2，
∴

AC

的長(zhǎng)度l=

nπ•OA

180

=

60π×2

180

=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)公式．借助圖形找出劣弧所對(duì)的圓心角度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．