Question

已知函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y=2，建立方程組，即可求a，b的值；
（II）對(duì)函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任一個(gè)實(shí)數(shù)x，恒成立，等價(jià)于恒成立，求出函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴
∵點(diǎn)（1，f（1））在直線x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直線x+y=2的斜率為-1，∴f′（1）=-1
∴有，∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
由及x＞0，可得
令，∴
令h（x）=1-x-lnx，∴，故h（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0
從而當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，+∞）是減函數(shù)，故g（x）_max=g（1）=1
要使成立，只需m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．