Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，S₇=49，a₃=5，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有2a_n+1=a_n+a_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=a_n•2ⁿ，n∈N⁺，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n+1=a_n+a_n+2，知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，S₇=49，a₃=5，且對(duì)任意的正整數(shù)n都有2a_n+1=a_n+a_n+2．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{7}=7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=49}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．…（6分）
（2）∵b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…②
①-②得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=$2+2×\frac{4-{2}^{n+1}}{1-2}-（2n-1）×{2}^{n+1}$
=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．