Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)f (x)＝ln(x＋a)+x².
（Ⅰ）若當(dāng)x＝1時(shí)，f (x)取得極值，求a的值，并討論f (x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f (x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln.

Answer 1

（Ⅰ）；分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
（Ⅱ），證明見(jiàn)解析

（Ⅰ），依題意有，故．
從而．的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144057299446.gif" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
分別在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
（Ⅱ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144057471306.gif" style="vertical-align:middle;" />，．
方程的判別式．
（�。┤�，即，在的定義域內(nèi)，故無(wú)極值．
（ⅱ）若，則或．
若，，．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)極值．
若，，，也無(wú)極值．
（ⅲ）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，．
當(dāng)時(shí)，，從而有的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值．
當(dāng)時(shí)，，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知在取得極值．
綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為．
的極值之和為
.