Question

已知拋物線y²=4x，過點P（1，1）能否作一條直線與拋物線交于A，B兩點，且P為線段AB 的中點？若能．求出直線方程，若不能說出理由．

Answer 1

分析：法一：由題意可設直線AB的方程為x-1=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程可求，y₁+y₂，結合中點坐標公式可得，

y1+y2

2

=1可求k的值，進而可求直線方程
法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=4x1 y22=4x2

，兩式相減及KAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

x1+x2

可求直線AB的斜率，進而可求直線AB的方程

解答：解：法一：由題意可設直線AB的方程為x-1=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

x-1=k(y-1) y2=4x

可得y²-4ky+4（k-1）=0
則△=16（k²-k+1）＞0，y₁+y₂=4k
由中點坐標公式可得，

y1+y2

2

=2k=1
∴k=

1

2

，直線AB的方程為x-1=

1

2

(y-1)即2x-y-1=0
法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點坐標公式可得，x₁+x₂=2
則

y12=4x1 y22=4x2

兩式相減可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
∴KAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

x1+x2

=2
∴直線AB的方程為y-1=2（x-1）即2x-y-1=0

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查拋物線的性質，考查運算求解能力，解題時要認真審題，注意韋達定理的靈活運用．注意法一中直線方程的設法的應用．