Question

定義：若對(duì)任意x₁、x₂∈（a，b）恒有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在（a，b）上為凹函數(shù)．已知凹函數(shù)具有如下性質(zhì)：對(duì)任意的x_i∈（a，b）（i=1，2，…，n），必有f（

x1+x2+…+xn

n

）≤

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

成立，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=…=x_n時(shí)成立．
（1）試判斷y=x²是否為R上的凹函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z=8，試求x²+y²+2z²的最小值并指出取得最小值時(shí)x、y、z的值．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：計(jì)算題,推理和證明

分析：（1）利用凹函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）利用題中條件：“x+y+2z=8”構(gòu)造柯西不等式：（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可．

解答： 解：（1）f（

x1+x2

2

）=（

x1+x2

2

）²，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12+x22

2

≥

x12+x22+2x1x2

4

=（

x1+x2

2

）²，
∴對(duì)任意x₁、x₂∈（a，b）恒有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，
∴y=x²是R上的凹函數(shù)；
（2）∵（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64，
∴x²+y²+2z²≥16，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

2

z時(shí)取等號(hào)，
∵x+y+2z=8，∴x=y=4（

2

+1），z=4+2

2

．
∴x²+y²+2z²的最小值為16，此時(shí)x=y=4（

2

+1），z=4+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用：（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64．