【題目】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí),我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究,在一定程度上可以簡(jiǎn)化推理過(guò)程.如我們就可以利用平面向量來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式:

具體過(guò)程如下:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O,以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A,B.

由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有:

設(shè)的夾角為θ,則

另一方面,由圖3.131)可知,;由圖可知,

.于是.

所以,也有,

所以,對(duì)于任意角有:

此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡(jiǎn)記作.

有了公式以后,我們只要知道的值,就可以求得的值了.

閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中MAB的中點(diǎn)),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問(wèn)題:

1)判斷是否正確?(不需要證明)

2)證明:

3)利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)正確;(2)見解析;(3)單調(diào)遞增區(qū)間為,

的單調(diào)遞減區(qū)間為

【解析】

(1) 因?yàn)閷?duì)方向上的單位向量,共線,即可判斷出正確;

(2), ,,表示出,的坐標(biāo),由縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等化簡(jiǎn)即可證得結(jié)論;

(3)(2)結(jié)論化簡(jiǎn)可得借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

(1) 因?yàn)閷?duì)于非零向量方向上的單位向量,共線,所以正確;

(2) 因?yàn)?/span>MAB的中點(diǎn),,從而在, ,,,,所以,

(3) 因?yàn)?/span>,解得:

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為

,解得:

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(I)寫出a的值;

(II)試估計(jì)該校所有學(xué)生中,閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù);

(III)從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,并用X表示其中初中生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知曲線為參數(shù)),曲線,將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的得到曲線.

(1)求曲線的普通方程,曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn),為曲線上的任意一點(diǎn),求線段的最小值,并求此時(shí)的的坐標(biāo);

(3)過(guò)(2)中求出的點(diǎn)做一直線,交曲線兩點(diǎn),求面積的最大值(為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出此時(shí)直線的方程.

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【題目】中,角的對(duì)邊分別為,且,若的面積為,則的最小值為( )

A.B.C.D.3

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【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:

①函數(shù)的最小值為,最大值為9;

;

③若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的最大值為2

試探究并解決如下問(wèn)題:

(Ⅰ)求,并求的值;

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(1)求該校此次數(shù)學(xué)考試平均成績(jī);

(2)計(jì)算得分超過(guò)141的人數(shù);

(3)甲同學(xué)每次數(shù)學(xué)考試進(jìn)入年級(jí)前100名的概率是,若本學(xué)期有4次考試, 表示進(jìn)入前100名的次數(shù),寫出的分布列,并求期望與方差.

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