Question

已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求f（x）；
（2）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求f（2^x）的最大值與最小值．
（3）若f（x）-1≤a在x∈[0，3]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)為f（x）=ax²+bx+c（a≠0），然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c的方程組即可；
（2）采用換元法，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題；
（3）這是一道不等式恒成立問題，只需求出函數(shù)f（x）-1在[0，3]上的最大值即可．

解答： 解：（1）由題意設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則由f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x可得：
2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x對(duì)任意的x恒成立．
故

2a=2 2b=-4 2a+2c=0

，解得a=1，b=-2，c=-1．
所以f（x）=x²-2x-1．
（2）令t=2^x∈[

1

2

，4]．則原函數(shù)可化為：
g（t）=t2-2t-1=(t-1)2-2，t∈[

1

2

，4]，
易知，g（t）_min=g（1）=-2，g（t）_max=g（4）=7．
即f（2^x）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，最大值為7，最小值為-2．
（3）令h（x）=f（x）-1=x²-2x-2，x∈[0，3]．
易知h（x）=（x-1）²-3，x∈[0，3]，顯然x=3時(shí)，h（x）_max=1．
所以要使f（x）-1≤a恒成立，只需a≥1即可．
故所求a的范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，不等式恒成立問題的解法，屬于常規(guī)題，難度不大．