Question

用長為90 cm 、寬為48 cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成,問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?

Answer 1

解析：設(shè)容器的高為x cm,容器的容積為V(x) cm³,則?

V(x)=x(90-2x)(48-2x)?

=4x³-276x²+4 320x(0＜x＜24).?

求V(x)的導(dǎo)數(shù),得?

V′(x)=12x²-552x+4 320?

=12(x²-46x+360)?

=12(x-10)(x-36),?

令V′(x)=0,得x₁=10,x₂=36(舍去).?

當(dāng)0＜x＜10時,V′(x)＞0,那么V(x)為增函數(shù);?

當(dāng)10＜x＜24時,V′(x)＜0,那么V(x)為減函數(shù).?

因此,在定義域(0,24)內(nèi),函數(shù)V(x)只有當(dāng)x=10時取得最大值,其最大值為?

V(10)=10×(90-20)×(48-20)?

=19 600(cm³).

答案：當(dāng)容器的高為10 cm時,容器的容積最大,最大容積為19 600 cm³ .