Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點(diǎn)x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0；求證：x1+2x0=0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f（x）=x3﹣ax﹣b，則f′（x）=3x2﹣a， 分兩種情況討論：
①、當(dāng)a≤0時(shí)，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），
②、當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=﹣ 或x= ，
當(dāng)x＞ 或x＜﹣ 時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)﹣ ＜x＜ 時(shí)，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）為減函數(shù)，
故f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），減區(qū)間為（﹣ ， ）；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點(diǎn)x0 ， 則必有a＞0，且x0≠0，
由題意可得，f′（x）=3x2﹣a，則x02= ，
進(jìn)而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b，
又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0），
由題意及（Ⅰ）可得：存在唯一的實(shí)數(shù)x1 ， 滿足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ，
則有x1=﹣2x0 ， 故有x1+2x0=0
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0時(shí)f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由條件判斷出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分別代入解析式化簡(jiǎn)f（x0），f（﹣2x0），化簡(jiǎn)整理后可得證．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．