Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E為棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AE；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅲ）試判斷PB與平面AEC是否平行？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，得CD⊥AE．
（Ⅱ）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB?平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅲ）PB與平面AEC不平行．假設(shè)PB∥平面AEC，由已知得到$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$，這與OB=OD 矛盾．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，
所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，所以CD⊥AE．
（Ⅱ）因?yàn)锳B∥DC，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
又因?yàn)锳B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅲ）PB與平面AEC不平行．
假設(shè)PB∥平面AEC，
設(shè)BD∩AC=O，連結(jié)OE，則平面EAC∩平面PDB=OE，又PB?平面PDB----------（1分）
所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有$\frac{OB}{OD}$=$\frac{PE}{ED}$，
由E是PD中點(diǎn)可得$\frac{OB}{OD}=\frac{PE}{ED}=1$，即OB=OD．
因?yàn)锳B∥DC，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$，這與OB=OD 矛盾，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，PB與平面AEC不平行．
（注：答案中標(biāo)灰部分，實(shí)際上在前面表達(dá)的符號(hào)中已經(jīng)顯現(xiàn)出該條件，故沒(méi)寫(xiě)不扣分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線線垂直、線面垂直、線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．