Question

已知數(shù)列，且滿足，又．
（1）證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列c_n=na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）把取倒數(shù)得：（n≥2）
又，∴b_n-b_n-1=2，
∴{b_n}以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2（n-1）+2=2n，
∴，得；
（2）∴C_n=na_n=，
T_n=（+2）+（+2•2²）+（）+…+（）
=+（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）
記S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
兩式相減得S_n=-（2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹）=n×2ⁿ⁺¹-（2ⁿ⁺¹-2）=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
∴T_n=2++（n-1）×2ⁿ⁺¹．
分析：（1）把取倒數(shù)得到b_n-b_n-1=2，從而得出{b_n}以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，
根據(jù)等差數(shù)列通項公式可求得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可求得數(shù)列{C_n}的通項公式，數(shù)列{c_n}中的n•2ⁿ由等差數(shù)列和等比數(shù)列構成，進而可用錯位將減法求和．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和求和問題．當出現(xiàn)由等比數(shù)列和等差數(shù)列構成的數(shù)列求和時，一般采用錯位相減法．