分析 (1)由題意可知:橢圓焦點(diǎn)在x軸上,將點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$)代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,c2=a2-b2,聯(lián)立即可求得a和b的值,即可求得橢圓E的方程;
(2)由題意可得直線l的方程為:y=k(x+4),且k≠0代入橢圓方程.△>0,可得${k^2}<\frac{1}{4}$,且k≠0由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0),假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得F1F2為直徑的圓過(guò)N點(diǎn),則${k_{{F_1}N}}.{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$.由${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$,${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$,代入可知:設(shè)t=k2,則80t2+40t-3=0,關(guān)于t的方程存在正解,存在實(shí)數(shù)k,使得以F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)N點(diǎn).
解答 解:(1)橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
∵橢圓E過(guò)點(diǎn)$({1,\frac{3}{2}})$,
∴將點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$),代入橢圓方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$,
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,即a2+b2=7c2②
又∵c2=a2-b2③,
將①②③聯(lián)立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…(5分)
(2)證明:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y),線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0).
由題意可得直線l的方程為:y=k(x+4),且k≠0.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k(x+4)\end{array}\right.$,整理得:(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,
由△=(32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0,可得${k^2}<\frac{1}{4}$,且k≠0.
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{{32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$${x_1}.{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$. …(7分)
∴${x_o}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$,${y_0}=k({x_o}+4)=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得F1F2為直徑的圓過(guò)N點(diǎn),
即F1N⊥F2N,則${k_{{F_1}N}}.{k_{{F_2}N}}_{\;}=-1$,…(9分)
∵${k_{{F_1}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+1}}=\frac{4k}{{1-4{k^2}}}$,${k_{{F_2}N}}=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}}}{{-\frac{{16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}-1}}=\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}$
∴$\frac{4k}{{1-4{k^2}}}×\frac{12k}{{-20{k^2}-3}}=-1$,化為80k4+40k2-3=0,…(11分)
設(shè)t=k2,則80t2+40t-3=0,
∴關(guān)于t的方程存在正解,這樣實(shí)數(shù)k存在.
即存在實(shí)數(shù)k,使得以F1F2為直徑的圓經(jīng)過(guò)N點(diǎn). …(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的斜率公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | (-1,2) | B. | (-2,-1] | C. | (-2,-1) | D. | (2,3) |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | 9 | C. | 2 | D. | 11 |
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