【題目】在平面直角坐標(biāo)系中已知橢圓過點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為.

1)求橢圓E的方程;

2)若A,B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足,且MA交橢圓E于點(diǎn)P.

i)求證:為定值;

ii)設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q,問:直線MQ是否過定點(diǎn),并說明理由.

【答案】(1) (2) i)證明見解析,定值為4 ii)直線過定點(diǎn).

【解析】

1)由題意得離心率公式和點(diǎn)滿足的方程,結(jié)合橢圓的的關(guān)系,可得,進(jìn)而得到橢圓方程;
2)(i)設(shè),求得直線MA的方程,代入橢圓方程,解得點(diǎn)P的坐標(biāo),再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,計(jì)算即可得證;
ii)直線MQ過定點(diǎn)O00).先求得PB的斜率,再由圓的性質(zhì)可得MQPB,求出MQ的斜率,再求直線MQ的方程,即可得到定點(diǎn).

解:(1)易得

解得

所以橢圓E的方程為

2)設(shè),

①易得直線的方程為:

代入橢圓得,,

得,,從而,

所以示

②直線過定點(diǎn),理由如下:

依題意,,

得,,

的方程為:,即,

所以直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知是橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,且.

1)若橢圓經(jīng)過圓的圓心,求橢圓的方程;

2)在(1)的條件下,若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某生物探測器在水中逆流行進(jìn)時(shí),所消耗的能量為EcvnT,其中v為行進(jìn)時(shí)相對(duì)于水的速度,T為行進(jìn)時(shí)的時(shí)間(單位:h),c為常數(shù),n為能量次級(jí)數(shù),如果水的速度為4km/h,該生物探測器在水中逆流行進(jìn)200km

1)求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式;

2)①當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí),求探測器消耗的最少能量;

②當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí),試確定v的大小,使該探測器消耗的能量最少.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:

(1)求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中以近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差

(。├迷撜龖B(tài)分布,求;

(ⅱ)某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(127.6,140)的產(chǎn)品件數(shù),利用(。┑慕Y(jié)果,求

附:.若,則

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某人沿固定路線開車上班,沿途共有個(gè)紅綠燈,他對(duì)過去個(gè)工作日上班途中的路況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到了如表的數(shù)據(jù):

上班路上遇見的紅燈數(shù)

天數(shù)

若一路綠燈,則他從家到達(dá)公司只需用時(shí)分鐘,每遇一個(gè)紅燈,則會(huì)多耗時(shí)分鐘,以頻率作為概率的估計(jì)值

1)試估計(jì)他平均每天上班需要用時(shí)多少分鐘?

2)若想以不少于的概率在早上點(diǎn)前(含點(diǎn))到達(dá)公司,他最晚何時(shí)要離家去公司?

3)公司規(guī)定,員工應(yīng)早上點(diǎn)(含點(diǎn))前打卡考勤,否則視為遲到,每遲到一次,會(huì)被罰款.因某些客觀原因,在接下來的個(gè)工作日里,他每天早上只能從家出發(fā)去公司,求他因遲到而被罰款的期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出.某市為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個(gè)居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn):用水量不超過a的部分按照平價(jià)收費(fèi),超過a的部分按照議價(jià)收費(fèi)).為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量(單位:噸),制作了頻率分布直方圖,

(Ⅰ)用該樣本估計(jì)總體:

1)估計(jì)該市居民月均用水量的平均數(shù);

2)如果希望86%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn),則月均用水量a的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸?

(Ⅱ)若將頻率視為概率,現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機(jī)調(diào)查3位居民的月均用水量,其中月均用水量不超過2.5噸的人數(shù)為X,求X的分布列和均值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角AB、C所對(duì)的邊長分別為ab、c,且acosB+bcosA2ccosB

1)若a3,,求c的值;

2)若,求fA)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃,收集了近個(gè)月廣告投入量單位:萬元)和收益單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表

月份

廣告投入量

收益

他們分別用兩種模型①分別進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值

Ⅰ)根據(jù)殘差圖,比較模型①②的擬合效果,應(yīng)選擇哪個(gè)模型?并說明理由;

Ⅱ)殘差絕對(duì)值大于的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),需要剔除

。┨蕹惓(shù)據(jù)后求出(Ⅰ)中所選模型的回歸方程;

ⅱ)若廣告投入量時(shí),該模型收益的預(yù)報(bào)值是多少

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓(xùn),隨機(jī)調(diào)查了80名新生,得到如下2×2列聯(lián)表

愿意

不愿意

合計(jì)

x

5

M

y

z

40

合計(jì)

N

25

80

1)寫出表中x,yz,MN的值,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為愿意參加軍訓(xùn)與性別有關(guān);

2)在被調(diào)查的不愿意參加軍訓(xùn)的學(xué)生中,隨機(jī)抽出3人,記這3人中男生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式:

附:

PK2k0

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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