Question

6．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，則
（1）z=x²+y²的最小值為$\frac{1}{2}$．
（2）若函數(shù)y=|2x-1|+m的圖象上存在區(qū)域D上的點，則實數(shù)m的取值范圍是$[-4，\frac{3}{4}]$．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，（1）利用目標函數(shù)的幾何意義，求解z=x²+y²的最小值；
（2）利用圖形，求出圖形中A，B，C坐標；化簡y=|2x-1|+m，從而確定最值．

解答 解：由題意作不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$平面區(qū)域如圖：
（1）z=x²+y²的最小值為圖形中OP的距離的平方；
可得：$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）
結合圖象可知，$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，可得B（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$解得A（2，-1）．當x∈[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]時，
y=1+m-2x，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$解得C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
x∈（$\frac{1}{2}$，2]時，y=2x-1+m，m的范圍在A，B，C之間取得，y=|2x-1|+m，
經(jīng)過A時，可得3+m=-1，即m=-4，m有最小值為-4；
經(jīng)過C可得$\frac{3}{4}=|2×\frac{1}{2}-1|+m$，可得m=$\frac{3}{4}$，即最大值為：$\frac{3}{4}$；
經(jīng)過B可得1-$\frac{2}{3}$+m=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$．
函數(shù)y=|2x-1|+m的圖象上存在區(qū)域D上的點，則實數(shù)m的取值范圍：$[-4，\frac{3}{4}]$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$[-4，\frac{3}{4}]$．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的變形應用及數(shù)形結合的思想方法應用．