設函數(shù)f(x)=+,g(x)=ln(2ex)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值;
(2)是否存在一次函數(shù)h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)對一切x>0恒成立;若存在,求出一次函數(shù)的表達式,若不存在,說明理由:
3)數(shù)列{}中,a1=1,=g()(n≥2),求證:<<<1且<.
(1)最小值0;(2)見解析;(3)見解析.
解析試題分析:(1)利用導數(shù)求解即可;(2)假設存在,,,然后利用導數(shù)求出最小值判斷即可;(3)先證遞減且由(2)知時,又在上遞增,所以當時,總有,即也成立,然后利用數(shù)學歸納法證明.
試題解析:(1)
易知時,時
所以在上遞減,而在上遞增 2分
故時,取最小值0 3分
(2)由(1)可知,
所以若存在一次函數(shù)使得
且總成立,則,即;
所以可設,代入得恒成立,
所以,所以,,
此時設,則,
易知在上遞減,在上遞增,
所以,即對一切恒成立;
綜上,存在一次函數(shù)符合題目要求 6分
(3)先證遞減且
由(2)知時,又在上遞增,所以當時,
總有,即也成立
下面用數(shù)學歸納法證明
(1)時,因為,所以成立;
(2)假設時,結(jié)論成立,即
由于時,,又在上遞增,
則,即也成立
由(1)(2)知,恒成立;而時
所以遞減
綜上所述
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),其中.
(I)若函數(shù)圖象恒過定點P,且點P關于直線的對稱點在的圖象上,求m的值;
(Ⅱ)當時,設,討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)在(I)的條件下,設,曲線上是否存在兩點P、Q,使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在y軸上?如果存在,求a的取值范圍;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,其中且.
(Ⅰ)當,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若時,函數(shù)有極值,求函數(shù)圖象的對稱中心坐標;
(Ⅲ)設函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù)),是否存在a使在上為減函數(shù),若存在,求實數(shù)a的范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù),其中.
(1)若,求在的最小值;
(2)如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在最小的正整數(shù),使得當時,不等式恒成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,設函數(shù)的3個極值點為,且.證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設點為函數(shù)的圖象上任意一點,若曲線在點處的切線的斜率恒大于,
求的取值范圍.
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