Question

【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.

（1）求證:BD⊥平面ACFE;
（2）當(dāng)直線FO與平面BDE所成的角為45°時,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明:在菱形 中,可得 ，又因為 平面 , ，且 平面
（2）解：取 的中點為 ，以 為坐標(biāo)原點,以 為 軸,以 為 軸，以 為 軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，則 ,設(shè)平面 的法向量 ，
由 ，也就是 ，可取 ①
則 ，解得 ，故

設(shè)平面 的法向量為
設(shè)平面 的法向量為 ,
同理①可得
則 ，則二面角 的余弦值為
【解析】本題主要考查空間二面角的求法以及線面垂直的判定定理的應(yīng)用。（1）主要是利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)進(jìn)行求解。
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案．