Question

【題目】已知函數(shù) 且函數(shù)y=f（x）圖象上點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0．
（1）試用含有a的式子表示b，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x0 ， y0），（x0∈（x1 ， x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“跟隨切線”．特別地，當(dāng) 時(shí)，又稱AB存在“中值跟隨切線”．試問：函數(shù)f（x）上是否存在兩點(diǎn)A，B使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出A，B的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

∵f′（x）= ﹣ax+b=0，

∴b=a﹣1，∴f′（x）= ﹣ax+a﹣1=﹣ ，

當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，

當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，

∴當(dāng)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減

（2）解：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟隨切線”，

則kAB= = ﹣ +a﹣1，

f′（ ）= ﹣ +a﹣1，

又kAB=f′（ ）得 = ，

∴l(xiāng)n =t，（t＞1），則lnt=2﹣ ，（t＞1），此式表示有大于1的實(shí)數(shù)根，

令h（t）=lnt+ ﹣2（t＞1），則h′（t）= ＞0

∴h（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，

∴h（t）＞h（1）=0，與lnt=2﹣ ，（t＞1）有大于1的實(shí)數(shù)根相矛盾，

∴函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值跟隨切線”

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)化簡即可得到a與b的關(guān)系式，用a表示出b；然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)；（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得AB存在“中值相依切線”，根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．