Question

18．（1）若函數(shù)f（x）=ax²-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）=|4x-x²|-k有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x-1有唯一零點(diǎn)-1，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)，即ax²-x-1=0有惟一解，則△=1+4a=0；綜合可得答案．
（2）設(shè)g（x）=|4x-x²|，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x-1有唯一零點(diǎn)-1，符合題意；（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)，即ax²-x-1=0有惟一解．
由△=1+4a=0得a=-$\frac{1}{4}$．
綜上可知a的值為0或-$\frac{1}{4}$．（6分）
（2）設(shè)g（x）=|4x-x²|，畫出其圖象如圖所示．

函數(shù)f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，即方程g（x）-k=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
也就是y=g（x）的圖象與直線y=k有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，
由圖可知0＜k＜4．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)及個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，難度中檔．