我們知道:若函數(shù)y=f(x)存在函數(shù)y=f-1(x),則原函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱;若y=f(x)與y=f-1(x)的圖像有公共點,則某些公共點也未必在直線y=x上,例如:f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)為定義域上的增函數(shù),且y=f(x)與y=f-1(x)的圖像有公共點,求證:y=f(x)與y=f-1(x)的圖像的公共點在直線y=x上;

(Ⅱ)設(shè)f(x)=ax(a>1),試討論f(x)與f-1(x)的圖像的公共點的個數(shù).

解:(Ⅰ)設(shè)M(x0,y0)為y=f(x)與y=f-1(x)的圖像的公共點則y0=f(x0)  (1)    y0=f-1(x0)  (2)

由(2)有x0=f(y0)  (3) 

若x0<y0,則由(1),(3)式有:f(y0)<f(x0)又因為y=f(x)為增函數(shù),則由f(y0)<f(x0)有:y0<x0,這與x0<y0矛盾 

這說明x0<y0不可能成立,同理可證y0<x0也不可能成立所以x0=y0,即點M(x0,y0)在直線y=x上,也就是y=f(x)與y=f-1(x)的圖像的公共點在直線y=x上

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:當(dāng)y=f(x)為增函數(shù)時,若y=f(x)與y=f-1(x)的圖像有公共點,則這些公共點也即y=f(x)與y=x的公共點 

以下討論y=ax與y=x的公共點的個數(shù):考慮函數(shù)g(x)=f(x)-x,即g(x)=ax-x(a>1)g′(x)=ax·lna-1,令ax·lna-1≥0有ax=logae,即x≥loga(logae)由此知當(dāng)x∈(loga(logae),+∞)時,g′(x)>0當(dāng)x∈(-∞,loga(logae))時,g′(x)<0所以g(x)min=g(loga(logae))=aloga(logae)-loga(logae)=logae-loga(logae) 

①當(dāng)logae-loga(logae)>0即lna>也就是a>時,g(x)min>0

所以f(x)=ax與y=x的圖像沒有公共點,因而f(x)與f-1(x)的圖像沒有公共點

②當(dāng)logae-loga(logae)=0即a=時,f(x)與f-1(x)的圖像有唯一公共點

③當(dāng)logae-loga(logae)<0即1<0<時,f(x)與f-1(x)的圖像有兩個公共點

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們知道:兩個互為反函數(shù)的函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱,利這一性質(zhì),若x1和x2分別是2x+x+a=0和log2x+x+a=0的兩根,則x1+x2的值為直線y=x與直線y=-x-a的交點的橫坐標(biāo)的2倍,即x1+x2=-a; 由函數(shù)y=x3與函數(shù)y=
3x
互為反函數(shù),我們可以得出:若方程x3+x-3=0的根為x1,方程(x-3)3+x=0的根為x2,則x1+x2=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性時我們知道:若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(0,0)成中心對稱圖形,則有函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),反之亦然;現(xiàn)若有函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形,則有與y=f(x)相關(guān)的哪個函數(shù)為奇函數(shù),反之亦然.
(2)將函數(shù)g(x)=x3+6x2的圖象向右平移2個單位,再向下平移16個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解釋式,并利用(1)的性質(zhì)求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo);
(3)利用(1)中的性質(zhì)求函數(shù)h(x)=log2
1-x4x
圖象對稱中心的坐標(biāo),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性時我們知道:若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(0,0)成中心對稱圖形,則有函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),反之亦然;現(xiàn)若有函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形,則有與y=f(x)相關(guān)的哪個函數(shù)為奇函數(shù),反之亦然.
(2)將函數(shù)g(x)=x3+6x2的圖象向右平移2個單位,再向下平移16個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解釋式,并利用(1)的性質(zhì)求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo);
(3)利用(1)中的性質(zhì)求函數(shù)h(x)=log2
1-x4x
圖象對稱中心的坐標(biāo),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:同步題 題型:解答題

我們知道,y=ax(a>0且a≠1)與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)。只要把其中一個進(jìn)行指對互化,就可以得到它的反函數(shù)的解析式。任意一個函數(shù)y=f(x),將x用y表示出來能否得到它的反函數(shù)?據(jù)函數(shù)的定義:對于自變量x的每一個值y都有唯一確定的值與之對應(yīng),如果存在反函數(shù),應(yīng)是對于y的每一個值,x都有唯一確定的值與之對應(yīng),據(jù)此探究下列函數(shù)是否存在反函數(shù)?若是,反函數(shù)是什么?若否,為什么?
(1)y=2x+1;
(2)y=;
(3)y=x2;
(4)y=。

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