Question

公比為正的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄．
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）令b_n=log₂a_n，數列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，求使得T_n＞

2012

2013

成立的最小正整數n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件利用等比數列的通項公式和前n項和公式能求出首項和公比，由此能求出an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=log22n=n，從而

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出T_n=

n

n+1

，由此能求出滿足T_n＞

2012

2013

成立的最小正整數n的值．

解答： 解：（1）公比為正的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，
且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄，
∴q²-q-2=0，又q＞0，
∴q=2，又S₃+2=a₄，
∴

a1(1-23)

1-2

+2=a1•23，
∴a₁=2，
∴an=2•2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
又T_n＞

2012

2013

，∴n＞2012，
∴滿足T_n＞

2012

2013

成立的最小正整數n的值為2013．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的最小正整數n的值的求法，是中檔題，解題時要注意裂項求和法的合理運用．