Question

已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，有恒成立.

（1）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（2）若對(duì)所有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）增函數(shù)，證明詳見解析；（2）或或

【解析】

試題分析：（1）要判斷函數(shù)的單調(diào)性一般可用增函數(shù)和減函數(shù)的定義或利用導(dǎo)函數(shù)判斷，由于本題沒(méi)有函數(shù)解析式，再結(jié)合題目特點(diǎn)，適于用定義判斷，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)照增函數(shù)和減函數(shù)的定義，再結(jié)合奇函數(shù)的條件，怎樣通過(guò)適當(dāng)?shù)馁x值構(gòu)造出與和相關(guān)的式子，再判斷符號(hào)解決，通過(guò)觀察，只要令即可；(2)不等式恒成立問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立，再構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為任意恒成立，此時(shí)可對(duì)的系數(shù)的符號(hào)討論，但較為繁瑣，較為簡(jiǎn)單的做法是只要滿足且即可.

試題解析：（1）設(shè)且，則，是奇函數(shù)

由題設(shè)知

且時(shí)  ，

即在上是增函數(shù)

（2）由（1）知，在上是增函數(shù)，且 

要，對(duì)所有恒成立，需且只需

即成立 ，　

令，對(duì)任意恒成立  需且只需滿足

，或或

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立.