Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（無(wú)需證明），并求函數(shù)的值域；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的最大值為？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?/span> (3)

【解析】

（1）證明函數(shù)為奇函數(shù)，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇函數(shù)還要滿足.

（2）可通過(guò)改變函數(shù)單調(diào)性兩個(gè)因素：取倒數(shù)和負(fù)號(hào)。較易判斷單調(diào)性。單調(diào)性知道后值域就在端點(diǎn)出取得.

（3）首先令進(jìn)行換元，注意換元后的定義域，將帶有根式的函數(shù)換元成二次函數(shù)進(jìn)行求解即可.

（1）,

的定義域?yàn)?/span>

又

奇函數(shù).

（2）判斷：在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞增

，的值域?yàn)?/span>

（3）

令

則，

①時(shí)，在單調(diào)遞增，

時(shí)，（符合題意）

②時(shí)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，

當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，

；

當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，（符合題意）

③時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，

當(dāng)時(shí)，（符合題意）

綜上：.