Question

若數(shù)列{A_n}滿足，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關(guān)于n的表達式；
（Ⅲ）記，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象，結(jié)合新定義，可得數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，兩邊取對數(shù)，即可證得數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5公比為2的等比數(shù)列；
（II）由題意，，從而可得數(shù)列{a_n}的通項，進而先求對數(shù)的和，即可求得結(jié)論；
（III）確定數(shù)列{b_n}的通項，利用等比數(shù)列的求和公式可結(jié)論．
解答：（I）證明：因為
所以數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．--------（2分）
由以上結(jié)論，
所以數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5公比為2的等比數(shù)列．--------（4分）
（II）解：由題意，，
∴．--------（6分）
∴，
∴．--------（9分）
（III）解：，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和．--------（13分）
[注：若有其它解法，請酌情給分]
點評：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．