f(x)=loga
1+x
1-x
(a>0,a≠1)
,g(x)是f(x)的反函數(shù).
(Ⅰ)若關(guān)于x的方程:loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在x∈[0,1)上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=e(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),記h(x)=g(x)-
x
2
(x≥0)
,求函數(shù)h(x)的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)a>1時(shí),求證:
n
k=1
g(a-k)<
lna
2(a-1)
(n∈N*).
分析:(Ⅰ)求出g(x),loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在[2,6]上有實(shí)數(shù)解,求出t的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)確定t 的范圍;
(Ⅱ)a=e求出 h(x)=g(x)-
x
2
(x≥0)
,利用導(dǎo)數(shù)推出是增函數(shù),求出最小值,即可求函數(shù)h(x)的最大值;
(Ⅲ)利用放縮法,求出
n
k=1
g(a-k)
的取值范圍,最后推出小于
lna
2(a-1)
即可.
解答:解:(Ⅰ)由條件可知:t=(1+x)(2x2-5x+5),在x∈[0,1)上有解.
t'=6x(x-1),當(dāng)x∈[0,1)時(shí),t'(x)<0,所以t(x)在[0,1)上單調(diào)遞減.t(1)<t(x)≤t(0),即4<t≤5.(4分)
(Ⅱ)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),g(x)=f-1(x)=
ax-1
ax+1
(x∈R)
,
當(dāng)a=e時(shí),h(x)=
ex-1
ex+1
-
x
2
(x≥0)
,所以h(x)=
-(ex-1)2
2(ex+1)2
≤0
,
所以h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.所以,x≥0時(shí),h(x)max=h(0)=0;(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)的啟示可以設(shè)G(x)=g(x)-
lna
2
x,(x≥0)

G(x)=g(x)-
lna
2
=
-(ax-1)2lna
(ax+1)2
≤0
,
所以G(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>0時(shí),G(x)<G(0)=0,即g(x)<
lna
2
x

所以
n
k=1
g(a-k)<
lna
2
(
1
a
+
1
a2
++
1
an
)=
lna
2
.
1-
1
an
a-1
lna
2(a-1)
.(16分)
點(diǎn)評(píng):本小題考查函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證、分析與解決問題的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•普陀區(qū)二模)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象:
(1)寫出g(x)的解析式
(2)記F(x)=f(x)+g(x),討論F(x)的單調(diào)性
(3)若a>1,x∈[0,1)時(shí),總有F(x)=f(x)+g(x)≥m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x),(a>0且a≠1)記F(x)=f(x)-g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)F(x)的奇偶性,并予以證明;
(3)求使F(x)>0的x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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