Question

【題目】．已知函數(shù)

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的極值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）把代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)可知，當時， ，函數(shù)在定義域， 上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，當時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值.

試題解析：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），．

（1）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即

（2）由，x＞0知：

①當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無極值；

②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a，又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值，綜上，當a≤0時，函數(shù)f（x）無極值；當a＞0時，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值．

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.