分析 (1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出PB與平面BDE所成的角.
(2)求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量,利用向量法能求出二面角B-DE-P的大。
解答 解:(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,0,a),B(a,0,0),D(0,a,0),C(a,a,0),E($\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}$),
$\overrightarrow{DB}$=(a,-a,0),$\overrightarrow{DE}$=($\frac{a}{2},-\frac{a}{2},\frac{a}{2}$),
$\overrightarrow{PB}$=(a,0,-a),
設(shè)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax-ay=0}\end{array}\right.$,
取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,0),
設(shè)PB與平面BDE所成的角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∴θ=30°,
∴PB與平面BDE所成的角為30°.
(2)平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,1,0),
$\overrightarrow{DP}$=(0,-a,a),$\overrightarrow{DE}$=($\frac{a}{2},-\frac{a}{2},\frac{a}{2}$),
設(shè)平面DEP的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{a}{2}x-\frac{a}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-ay+az=0}\end{array}\right.$,取y=1,得$\overrightarrow{m}$=(0,1,1),
設(shè)二面角B-DE-P的大小為α,
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$,
∴α=60°,
∴二面角B-DE-P的大小為60°.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角、二面角的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | an+1=an+n,n∈N* | B. | an=an-1+n,n∈N*,n≥2 | ||
C. | an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2 | D. | an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 |
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A. | $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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A. | bf(a)≤af(b) | B. | af(b)≤bf(a) | C. | bf(a)≤f(a) | D. | af(a)≤f(b) |
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