Question

16．已知一次函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，值域?yàn)閇1，4]．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，8]時(shí)，求函數(shù)$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$的值域．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，設(shè)f（x）=kx+b，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，值域?yàn)閇1，4]．可求k，b．
（2）函數(shù)$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$，求出g（x），利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求值域．

解答 解：（1）由題意函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，
設(shè)f（x）=kx+b，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，值域?yàn)閇1，4]．
故得$\left\{\begin{array}{l}{k×0+b=1}\\{k×3+b=4}\end{array}\right.$，解得：b=1．k=1，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x+1、
（2）函數(shù)$g（x）=2x-\sqrt{f（x）}$=2x-$\sqrt{x+1}$，
令：t=$\sqrt{x+1}$，則x=t²-1．
∵x∈[-1，8]，
∴0≤t≤3．
∴函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化為h（t）=$2{t}^{2}-t-2=2（t-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{17}{8}$
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)h（t）取得最小值為$-\frac{17}{8}$，
當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)h（t）取得最大值為13．
故得函數(shù)h（t）的值域?yàn)閇$-\frac{17}{8}，13$]，即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇$-\frac{17}{8}，13$]，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法和利用換元法求救值域的問題．