【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的極值點(diǎn)為x=﹣ 和x=1
(1)求b,c的值與f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)x∈[﹣1,2]時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)的極值點(diǎn)為x=﹣ 和x=1
∴f'(1)=3+2b+c=0,f'(- )= ﹣ b+c=0,
解得,b= ,c=﹣2,
∴f'(x)=(3x+2)(x﹣1),
當(dāng)f'(x)>0時(shí),解得x<﹣ ,或x>1,
當(dāng)f'(x)<0時(shí),解得﹣ <x<1,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣ )和(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣ ,1)
(2)解:有(1)知f(x)=x3﹣ x2﹣2x,x∈[﹣1,2],
故函數(shù)在[﹣1,﹣ )和(1,2]單調(diào)遞增增,在(﹣ ,1)單調(diào)遞減,
當(dāng)x=﹣ ,函數(shù)有極大值,f(- )= ,f(2)=2,
所以函數(shù)的最大值為2,
所以不等式f(x)<m在x∈[﹣1,2]時(shí)恒成立,
故m>2
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,+∞)
【解析】(1)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),令f'(1)=0,f'(- )=0可求出b,c的值,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)在[﹣1,2]上的最大值,繼而求出m的范圍
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)
為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值;
(Ⅱ)若不等式在內(nèi)恒成立,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=sin( ﹣ )﹣2cos2 +1. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,求當(dāng)x∈[0, ]時(shí)y=g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6 , (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an , 求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個(gè),分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球.
(Ⅰ)若兩個(gè)球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(Ⅱ)在(1)的條件下,記兩球編號的差的絕對值為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
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