Question

7．如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，F為BD中點，連接AF交CH于點E，
（Ⅰ）求證：FC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若FB=FE，⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，求FC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓的切線的判定方法，證明OC⊥FC，即可證明：FC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若FB=FE，⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，利用切割線定理、勾股定理求FC．

解答 證明：（Ⅰ）連接OC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF，
又OC=OB
∴∠OBC=∠OCB，
從而∠FCB+∠BCO=∠FBC+∠CBO=90°，
即：OC⊥FC，FC是⊙O的切線．
解：（Ⅱ）延長直線CF交直線AB于點G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，
又∠FCE=∠GFB，∠FEC=∠AFB，
∴∠GFB=∠AFB
從而△AGF是等腰三角形，$GB=AB=2\sqrt{2}$．
由切割線定理得：${（FC+FG）^2}=GB•GA=2\sqrt{2}×4\sqrt{2}=16$．…①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：FG²=FC²+8…②
由①、②得：FC=1．

點評 本題考查圓的切線的判定，切割線定理，平行線的性質定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．