Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2，3Sn=an+1+(-2)n+2-6，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

12

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出3S1=a2+(-2)3-6，S₁=a₁=2，由此能求出a₂．
（2）由3Sn=an+1+(-2)n+2-6，3Sn-1=an+(-2)n+1-6兩式相減得數列{

an

(-2)n

-1}是首項為-2，公比為-2的等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）當m∈N^*時，

1

a2m

+

1

a2m+1

=

1

42m+(-2)2m

+

1

42m+1+(-2)2m+1

＜

5

42m+1

，由此進行分類討論，能證明對一切正整數n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

12

．

解答： （1）解：∵a₁=2，3Sn=an+1+(-2)n+2-6，n∈N^*．
∴3S1=a2+(-2)3-6，
又∵S₁=a₁=2，∴a₂=20．…（3分）
（2）解：當n≥2時，3Sn=an+1+(-2)n+2-6，3Sn-1=an+(-2)n+1-6
兩式相減得3an=an+1-an-3(-2)n+1…（5分）
整理得an+1=4an+3(-2)n+1，
即

an+1

(-2)n+1

=-2

an

(-2)n

+3，
∴

an+1

(-2)n+1

-1=-2[

an

(-2)n

-1]，…（6分）
又∵

a2

(-2)2

-1=4，且

a1

-2

-1=-2，
∴

a2

(-2)2

-1=-2(

a1

-2

-1)，…（7分）
∴數列{

an

(-2)n

-1}是首項為

a1

-2

-1=-2，公比為-2的等比數列，
∴

an

(-2)n

-1=(-2)n，∴an=4n+(-2)n．…（9分）
（3）證明：∵當m∈N^*時，

1

a2m

+

1

a2m+1

=

1

42m+(-2)2m

+

1

42m+1+(-2)2m+1

=

5×42m-22m

44m+1+2×82m-2×42m

＜

5×42m

44m+1+2×82m-2×42m

=

5

42m+1+2×22m-2

＜

5

42m+1

．…（10分）
①當n=1時，

1

a1

=

1

2

＜

7

12

，…（11分）
②當n≥3且n為奇數時，令n=2m+1（m∈N^*），

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1

+(

1

a2

+

1

a3

)+…+(

1

a2m

+

1

a2m+1

)
＜

1

2

+

5

43

+

5

45

+…+

5

42m+1

＜

1

2

+

5 43 [1-( 1 16 )m]

1- 1 16

=

1

2

+

1

12

-

1

12

×(

1

16

)m＜

1

2

+

1

12

=

7

12

．…（12分）
③當n為偶數時，令n=2m（m∈N^*），
此時

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2m

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2m+1

＜

7

12

…（13分）
綜上，對一切正整數n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

12

．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要注意構造法和放縮法的合理運用．