Question

（2013•臨沂一模）定義在R上的偶函數(shù)f（x）對任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．若函數(shù)y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四個零點，則a的值為

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Answer 1

分析：由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．我們易得函數(shù)f（x）的圖象，最后利用圖象研究零點問題即可．

解答：解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=f（1-x）成立，
可得f（x+2）=f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，
當x∈[2，3]時，f（x）=-x²+6x-9．
函數(shù)y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上的零點個數(shù)等于函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=log_ax的圖象在（0，+∞）上的交點個數(shù)，如圖所示：
當y=log_ax的圖象過點A（4，-1）時，函數(shù)y=f（x）-log_ax在（0，+∞）上有四個零點，
∴-1=log_a4，∴a=

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4

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故答案為：

1

4

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點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．