如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有兩個動點E,F(xiàn),且EF=a (a為常數(shù)).
(Ⅰ)在平面ABC內(nèi)確定一條直線,使該直線與直線CE垂直;
(Ⅱ)判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值.若是定值,求出這個三棱錐的體積;若不是定值,說明理由.

【答案】分析:(I)先取AC中點D,連接BD.利用△ABC為等腰三角形,得出BD⊥AC,再根據(jù)ABC-A′B′C′是直三棱柱,得到BD⊥AA′,利用線面垂直的判定定理得直線BD⊥平面ACC′A′從而有BD⊥CE,故直線BD即為所求.
(Ⅱ)根據(jù)ABC-A′B′C′是直三棱柱,有CC′⊥平面A′B′C′,利用線面垂直的性質(zhì)定理得到CC′⊥EF,從而有△CEF的邊EF上的高為線段CC′,從而得到△CEF的面積S是常數(shù),由(Ⅰ)可知,BD⊥平面ACC′A′,故BD為三棱錐B-CEF的高,最后利用三棱錐的體積公式求出三棱錐B-CEF的體積V為定值.
解答:解:(Ⅰ)取AC中點D,連接BD.
∵AB=BC,∴△ABC為等腰三角形,D為底邊AC中點,∴BD⊥AC.
∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴AA′⊥平面ABC,
∵BD?平面ABC,∴BD⊥AA′.
又AA′∩AC=A,∴直線BD⊥平面ACC′A′.
∵CE?平面ACC′A′,∴BD⊥CE
∴直線BD即為所求.------(5分)
(Ⅱ)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,
∴CC′⊥平面A′B′C′,
∵EF?平面A′B′C′,∴CC′⊥EF
∴△CEF的邊EF上的高為線段CC′,
由已知條件得CC′=AA′=1,且EF=a(常數(shù)),
故△CEF的面積S=EF•CC′=a
由(Ⅰ)可知,BD⊥平面ACC′A′,故BD為三棱錐B-CEF的高.
在等腰三角形ABC中,可求得BD=,
∴三棱錐B-CEF的體積V=S•BD=為定值.------(10分)
點評:本題主要考查了線面平行與線面垂直的判定定理的應(yīng)用,注意線線關(guān)系與線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,本題主要考查了應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直,以及三棱錐體積公式的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

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