設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=
nban-1
an-1+2n-2
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,an
bn+1
2n+1
+1.
分析:(1)首先要根據(jù)條件變形遞推公式得:
n
an
=
1
b
+
2
b
n-1
an-1
,然后通過換元的方法分析得數(shù)列{bn+
1
2-b
}
是等比數(shù)列,其中
n
an
=bn
.從而可以求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)首先要利用基本不等式獲得b2n+b2n-1•2+…+bn+1•2n-1+bn-1•2n+1+…+b•22n-1+22n≥n•2n+1•bn,然后對數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式變形然后利用所獲得的不等式放縮化簡即可獲得問題的解答.
解答:解:(1)由題意知:
an
n
=
b •an-1
an-1+2(n-1)
,
n
an
=
an-1+2(n-1)
ban-1
=
1
b
+
2
b
n-1
an-1

設(shè)
n
an
=bn
,則bn=
2
b
bn-1+
1
b
(n≥2)

設(shè)bn+λ=
2
b
(bn-1+λ)
,則bn=
2
b
bn-1+λ(
2
b
-1)
,
當(dāng)b=2時(shí),
n
an
-
n-1
an-1
=
1
2
,
{
n
an
}
為首項(xiàng)是
1
2
,公差是
1
2
的等差數(shù)列.
∴an=2.
當(dāng)b≠2時(shí),
λ(
2
b
-1) =
1
b
,∴λ=
1
2-b
,
bn+
1
2-b
=
2
b
(bn-1+
1
2-b
)  (n≥2)

{bn+
1
2-b
}
是等比數(shù)列.
bn+
1
2-b
=(b1+
1
2-b
(
2
b
)
n-1
,
又∵b1=
1
b
,
bn=
1
2-b
(
2
b
)
n
-
1
2-b
=
1
2-b
• 
2n-bn
bn
,
an=
nbn(2-b)
2n-bn
,n∈N*

綜上可知:
當(dāng)b=2時(shí),an=2.
當(dāng)b≠2時(shí),an=
nbn(2-b)
2n-bn
,n∈N*

(2)當(dāng)b=2時(shí),由(1)知命題顯然成立;
當(dāng)b≠2時(shí),
b2n+22n>2
b2n22n
=2n+1bn

b2n-1• 2+ b•22n-1>2
b2n22n
=2n+1bn

bn+12n-1+bn-12n+1>2
b2n22n
=2n+1bn

將以上n個(gè)式子相加得:
b2n+b2n-1•2+…+bn+1•2n-1+bn-1•2n+1+…+b•22n-1+22n>n•2n+1•bn
an=
n2n+1•bn•(2-b)
2n+1• (2n-bn)

[(b2n+b2n-1•2+…+b•22n-1+22n)-bn2n]  (b-2)  
2n+1•(bn-2n)

=
(b2n+b2n-1•2+…+b•22n-1+22n) (b-2) -bn2n• (b-2) 
2n+1•(bn-2n

=
(b2n+1-bn+12n)+(bn2n+1-22n+1)     
2n+1•(bn-2n

=
bn+1
2n+1
+1

綜上可知:
an≤ 
bn+1
2n+1
+1,n∈N*
點(diǎn)評:本題考查的是數(shù)列的遞推公式問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、換元的思想、基本不等式的利用以及放縮法.值得同學(xué)們體會和反思.
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