Question

18．從某地區(qū)一次中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績，繪成如圖所示的2×2列聯(lián)表 （甲組優(yōu)秀，乙組一般）：

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6
女生	5	12
合計(jì)

（1）試問有沒有90%的把握認(rèn)為成績分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（2）①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人，再從5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在甲組的概率是多少？
②用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)抽取3人，用ξ表示所選3人中甲組的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望．K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式求出K²≈1.83＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認(rèn)為成績分在甲組或乙組與性別有關(guān)．
（2）①用A表示“至少有1 人在甲組”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人在甲組的概率．
②由題意知，ξ服從二項(xiàng)分布$B（{3，\frac{2}{5}}）$，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）作出2×2列聯(lián)表：

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得      ${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}≈1.83$
因?yàn)?.83＜2.706，故沒有90%的把握認(rèn)為成績分在甲組或乙組與性別有關(guān)．
（2）①用A表示“至少有1人在甲組”，則$P（A）=1-\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{7}{10}$．
②由題知，抽取的30名學(xué)生中有12名學(xué)生是甲組學(xué)生，抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率為$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$，那么從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是$\frac{2}{5}$，又因?yàn)樗】傮w數(shù)量較多，抽取3名學(xué)生可以看出3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，于是ξ服從二項(xiàng)分布$B（{3，\frac{2}{5}}）$．顯然ξ的取值為0，1，2，3，且$P（{ξ=k}）=C_3^k{（{\frac{2}{5}}）^k}{（{1-\frac{2}{5}}）^{3-k}}，k=0，1，2，3$．
所以得分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

數(shù)學(xué)期望$Eξ=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．