Question

18．設(shè)$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
可得${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，進而得出a₂，a₃，a₄．猜想a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{a}{a+2}$（a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，∴a₂=$\frac{a}{3a+4}$，a₃=$\frac{a}{7a+8}$，a₄=$\frac{a}{15a+16}$．
猜想a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$．
①當(dāng)n=1時，由（1）可知成立．
②假設(shè)n=k∈N^*時成立，即a_k=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}$．
則a_k+1=$\frac{\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}}{\frac{a}{（a+1）•{2}^{k}-a}-a}$=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{k+1}-a}$，因此n=k+1時也成立，
綜上可得：a_n=$\frac{a}{（a+1）•{2}^{n}-a}$對于n∈N^*都成立．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．