Question

休假次數(shù)	0	1	2	3
人數(shù)	5	10	20	15

某單位實(shí)行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：
根據(jù)上表信息解答以下問題：
（1）從該單位任選兩名職工，用η表示這兩人休年假次數(shù)之和，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意有函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組解出，在有互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式求解即可；
（2）由題意利用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，利用隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量分布列的定義列出隨機(jī)變量ξ的分布列，在利用隨機(jī)變量期望的定義求出其期望．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ηx-1過（0，-1）點(diǎn)，在區(qū)間（4，6）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則必有

f(4)＜0 f(6)＞

0，解得：

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
當(dāng)η=4時(shí)，P1=

C 2 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

，
當(dāng)η=5時(shí)，P2=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，
又η=4與η=5 為互斥事件，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式，
所以P=P1+P2=

68

245

+

12

49

=

128

245

；
（2）從該單位任選兩名職工，用ξ表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別是0，1，2，3，
于是P(ξ=0)=

C 2 5 +C 2 10 + C 2 20 +C 2 15

C 2 50

=

2

7

P(ξ=1)=

C 1 5 C 1 10 + C 1 10 C 1 20 + C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P(ξ=2)=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P(ξ=3)=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，
從而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ的數(shù)學(xué)期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于題意的理解能力及計(jì)算能力，還考查了互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式及離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列和期望的定義與計(jì)算．